Page 11 - 8_sf_dahimatik

Dahimatik 8. Sınıf - Mustafa Özdemir

Ö R N E K 1.11. ♣ Alıştırma 1.4. ♣
2012’den küçük kaç tam küp pozitif sayı vardır? Karesi 2 ile 2000 sayıları arasında olan sayılardan,
herhangi ikisi aralarında asal olacak ¸sekilde en fazla
Çözüm kaç sayı seçilebilir?
3
3
3
1  2  3   12 = 1728 sayıları 2012’den küçük tam
3
küp sayılardır. 13 = 2197 oldu˘ gundan, 2012’den
3
büyüktür. O halde, 12 tam küp sayı vardır.
Çözüm : Yanıt : 14.(2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
Ö R N E K 1.12. ♣♣ 31 37 41 ve 43)
2·6·5·12·n çarpımının bir tam küp olması için, n
sayısı en küçük kaç olmalıdır? Bu durumda, verilen
sayı hangi sayının küpü olur?

Çözüm
Tüm sayıları asal çarpanlarına ayıralım ve çarpanları
üçerli gruplayalım
¨ ¥
2·2·3·5·2·2·3· =(2·2·2) · (3·3) · (2) · (5) · F Bir Sayının Üssü F
§ ¦
Bu yazılı¸sın bir tam küp olması için, en az bir tane 3  bir do˘ gal sayı olmak üzere,
ve iki¸ser tane 5’e ihtiyaç var. Sonradan yazdıklarımızı
koyu yazarsak, ·· ·· ·  =  
| {z }
(2·2·2) · (3·3·3) · (2·2·2) · (5·5·5)  tane 
¸ seklinde tanımlanır. Buradaki  sayısına ’nın üssü
olacaktır. Böylece,  sayısı en küçük 3·2·2·5·5 = 300 veya kuvveti denir.
olur.  = 300 oldu˘ gunda, elde edilen sayı, her üçerli Örne˘ gin,
gruptan birini alınarak elde edilen
2·3·2·5=60 2·2·2·2·2·2= 2 6
sayısının küpü olacaktır. ’dır.

F Aynı sayının farklı kuvvetlerinin çarpımında
üsler toplanır.
Yani,   ∈ N için,
Ö R N E K 1.13. ♣   +
 · = 
a) Karesi 2 ile 200 sayıları arasında olan kaç pozitif
tam sayı vardır? ¸ seklindedir.
Örne˘ gin,
b) Buldu˘ gunuz bu sayılardan herhangi ikisi
5
3
aralarında asal olacak ¸sekilde en fazla kaç sayı 2 ·2 =2 3+5 =2 8
seçilebilir? ’dir.
Çözüm
F Aynı sayının farklı kuvvetlerinin bölümünde
a) 14 = 196 oldu˘ gundan, istenen sayılar 2, 3, 4, 5, üsler çıkarılır.
2
6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14’tür ve bunların sayısı da Yani,   ∈ N için,
13’tür.   −
b) Seçilecek sayıların asal çarpanları 14’ten küçük   = 
olacaktır. Bu ko¸sulu sa˘ glayan asal sayılar ¸ seklindedir.
2 3 5 7 11 13 Örne˘ gin,
olmak üzere 6 tanedir. E˘ ger 7 sayı seçilirse iki sayının 6
asal çarpanları arasında bu asal sayılardan biri ortak 2 =2 6−5 =2 1
olacaktır ki bu da aralarında asal olma ko¸sulunu 2 5
bozacaktır. O halde en fazla 6 sayı seçilebilir. ’dir.

10