Page 12 - 8_sf_dahimatik

Dahimatik 8. Sınıf - Mustafa Özdemir

Ö R N E K 1.14. ♣♣ Ö R N E K 1.16. ♣♣
Toplamları 264 olan ve 10’un katı olmayan dört 10 tane pozitif tam sayının toplamı, çarpımından
pozitif tam sayının çarpımı en çok kaç sıfırla biter? büyüktür. Bu sayılardan en fazla kaçı 1’den büyük
olabilir?
Çözüm
Çözüm
Çarpımın en çok 0 ile bitmesi için, 10 = 2·5
oldu˘ gundan, toplanan sayıları, mümkün oldu˘ gu kadar 1’den farklı pozitif sayıların en çok olması için,
5’in ve 2’nin kuvvetlerinin çarpanı olacak ¸sekil- mümkün oldu˘ gu kadar 2 kullanmalıyız. Daha büyük
de seçmeliyiz. 264’ün içinde, 5’in en fazla 3’üncü sayıları kullanırsak, çarpım daha büyük olur. Bunu
kuvveti vardır. 264 = 5 +5 +2 +  ¸seklinde istemiyoruz. 10 tane pozitif tam sayı için, 4 tane 2
5
3
2
seçersek, çarpımda 5 tane sıfır olaca˘ gı açıktır. Buna kullanamayız. Çünkü, bu durumda
göre,  =82 olur. Böylece, bu dört sayının çarpımı Çarpım : 2·2·2·2·(1·1 ··· 1)= 16
5
2
3
da, 5 ·5 ·2 ·82 = 8200 000 olur ki, 5 sıfırla biter. | {z }
6 tane
¸ Simdi, çarpımları altı sıfırla bitebilir mi diye bakalım. Toplam : 2+2+2+2+(1 +1 ··· 1)= 14
{z
Çarpımda 5 ve 2 sayılarının olması gerekir. Sayıların | 6 tane }
6
6
3
3
ikisinin 5 ve 5 olması durumunda, geriye 14 olur. Biz tam tersini, yani toplamlarının çarpımından
5
kalaca˘ gından, 2 çarpanımız olamaz. E˘ ger sayıların büyük olmasını istiyoruz. Çarpımları Çrp ile,
3
2
ikisi 5 ve 5 ise, di˘ ger sayı 5’in tek katı olması toplamları ise Tpl ile gösterelim.
gerekir ki, birkaç denemeden sonra bunun da mümkün Ohalde, 3 tane 2 ve 7 tane 1 kullanırsak,
olmadı˘ gı görülebilir. Yani, en fazla 5 sıfır olabilir. Çrp : 2·2·2·(1·1 ··· 1)= 8
(Not : 10’un katı olmama ko¸sulu olmasaydı, 7 sıfırla | {z }
7 tane
3
6
2
bitebilirdi. Bu durumda sayılar 5  2·5  2  5 2 Tpl: 2+2+2+(1 +1 ··· 1)= 13
{z
alınabilir.) | 7 tane }
olur ve ko¸sul sa˘ glanır. O halde, en fazla 3’ü, 1’den
büyük olabilir.
Alıştırma 1.5. U ˙ IMO - 2004 ♣♣
Toplamları 407 olan üç pozitif tam sayının çarpımı
en çok kaç sıfırla biter?
3
3
5
3
Çözüm : Yanıt : 6. (407 = 3·5 +2 =2·5 +5 +2 5
için, çarpım : 10 olur.)
6
Ö R N E K 1.15. ♣♣ Alıştırma 1.6. ♣♣
a) Toplamları çarpımlarına e¸sit olan 2 pozitif tam 50 tane pozitif tam sayının toplamı çarpımından
sayı bulunuz. büyüktür. Bu sayılardan en az kaçı 1’dir?
b) Toplamları çarpımlarına e¸sit olan 3 pozitif tam
sayı bulunuz.
c) Toplamları çarpımlarına e¸sit olan 4 pozitif tam
sayı bulunuz.
Çözüm
a) 2+2 = 2·2 (Not : Bu iki sayıdan ba¸ska, toplamı
çarpımına e¸sit iki sayı yoktur.)
b) 1+2+3 = 1·2·3 (Not : Bu üç sayıdan ba¸ska,
toplamı çarpımına e¸sitüçsayıyoktur.)
c) 1 + 1+2+4 = 1·1·2·4 (Not : Bu dört sayıdan Çözüm : Yanıt : 45.
ba¸ska, toplamı çarpımına e¸sit dört sayı yoktur.)
11