Page 16 - 8_sf_dahimatik

Dahimatik 8. Sınıf - Mustafa Özdemir

Ö R N E K 1.27. ♣♣ Ö R N E K 1.29. ♣♣
Pozitif tam sayıları bir sırada Rakamları birbirinden farklı 9 basamaklı bir
1234567891011121314115... sayının herhangi yedi rakamı silindi˘ ginde elde
edilen iki basamaklı sayıya özsayı diyelim.
¸ seklinde yazarak yeni bir sayı elde ediliyor. Bu Özsayıların sadece birinin asal olabilmesi için, 9
sayının 100’üncü rakamı kaçtır? basamaklı sayıda hangi rakam kullanılmamalıdır?

Çözüm
Çözüm
9 tane tek basamaklı sayı vardır. Yani 100 − 9=91 0, 5 ve çift rakamları sayının en sonunda kullanalım.
rakam iki basamaklı sayılardan olu¸sacaktır. Bu sayılar özsayının sonunda kaldı˘ gında özsayı asal
91 = 2 · 45 + 1 oldu˘ gundan, iki basamaklı 45 olamaz. Örne˘ gin, 246850 yazabiliriz. Geriye
sayı kullanılmı¸sve 46’ıncı sayının ilk rakamı bize 1, 3, 7 ve 9 rakamları kaldı. 7 rakamını 3, 1, 9 ile
istedi˘ gimiz sayıyı verecektir. kullandı˘ gımızda daima asal sayı elde edece˘ gimizden
10 + 45 − 1=54 sadece 7 rakamını kullanmamalıyız. 91 ve 93 sayıları
sayısı, 45’inci iki basamaklı sayıdır. 46’ıncı iki da asal olmadı˘ gından, 913246850 sayısı istenen
basamaklı sayı da 55 oldu˘ gundan, 100’üncü rakam 5 ¸ sekilde bir sayıdır ve burada sadece 13 sayısı asal
olarak bulunur. olabilir.

Ö R N E K 1.28. ♣♣ Ö R N E K 1.30. UMO - 2005 ♣♣
Pozitif tam sayıları bir sırada Tahtaya soldan sa˘ ga do˘ gru yazılı n tane rakamdan,
her seferinde üçü hariç di˘ gerlerini silerek tüm üç
1234567891011121314115...
basamaklı sayılar elde edilebiliyorsa, n en az kaç
¸ seklinde yazarak yeni bir sayı elde ediliyor. Bu olabilir?
sayının 1111’incirakamıkaçtır?
Çözüm
Çözüm
Tüm üç basamaklı sayıları elde edebilmek için, 0 hariç
9 tane tek basamaklı sayı ve 90 tane de iki basamaklı her rakamdan en az üçer tane bulunmalıdır. 0 sayısı ise
sayı vardır. O halde, bir ve iki basamaklı sayıların en az 2 kez olmalıdır.
kullanılmasıyla 9+90·2 = 189 rakam kullanılır. O Bu durumda en az 29 rakam olmalıdır. Birler
halde, basama˘ gını 0 haricindeki ilk 9 rakamdan, onlar
basama˘ gını sonraki 10 rakamdan ve yüzler basama˘ gını
1111 − 189 = 922
da en sondaki 10 rakamdan seçerek tüm sayılar elde
rakam üç basamaklı sayılardan olacaktır. edilebilir. Örne˘ gin,
922 = 3·307 + 1 12345678901234567890123456789
oldu˘ gundan üç basamaklı 307 sayı kullanılmı¸sve ¸ seklinde yazılan 29 rakam istenen ko¸sulu sa˘ glayacaktır.
308’inci sayının ilk rakamı bize istedi˘ gimiz sayıyı
verecektir. Üç basamaklı sayılar, 100’den ba¸sladı˘ gından
307’inci üç basamaklı sayı, 100 + 307 − 1 = 406 Ö R N E K 1.31. UAMO- 2004 ♣♣
bulunur. Böylece, 308’inci üç basamaklı sayı 407 ve 2004 basamaklı bir sayının herhangi kom¸su iki
ilk rakamı 4 oldu˘ gundan, olu¸sturulan sayının 1111’inci rakamının olu¸sturdu˘ gu sayı, üç farklı asal sayının
rakamı 4’tür. çarpımı ¸seklinde yazılabilmektedir. Bu sayının son
basama˘ gı kaçtır?

Çözüm
Alıştırma 1.14. ♣♣ ˙ Istenen sayının kom¸su iki rakamının olu¸sturdu˘ gu sayı,
Pozitif tam sayıları bir sırada üç farklı asal sayının çarpımı ¸seklinde yazılabildi˘ gine
göre, kom¸su iki rakamın olu¸sturdu˘ gu sayı,
1234567891011121314115...
¸ seklinde yazarak bir sayı elde ediliyor. Bu sayının 2·3·5 = 30; 2·3·7 = 42; 2·3·11 = 66; 2·5·7=70
1000’inci rakamı kaçtır? sayılarından biri olabilir. Bu durumun 2004 basama˘ gın
herhangi ikisi için geçerli olabilmesi sadece çarpımın
66 olması durumunda mümkündür. Dolayısıyla 2004
basamaklı sayımızın tüm rakamları 6’dır.
Çözüm : Yanıt : 3
15