Page 15 - 8_sf_dahimatik

Dahimatik 8. Sınıf - Mustafa Özdemir

Ö R N E K 1.24. U ˙ IMO - 2008 ♣♣ Ö R N E K 1.26. ♣♣
Be¸s tane iki basamaklı birbirinden farklı do˘ gal 1’den 1112’ye kadar olan tüm tam sayıları bir
sayının toplamının alabilece˘ gi kaç farklı de˘ ger sırada
vardır?
12345678910111213...1111
Çözüm ¸ seklinde yazarak yeni bir sayı elde ediliyor. Bu sayı
En küçük, 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 60 ve en büyük kaç basamaklıdır?
99 + 98 + 97 + 96 + 95 = 485 Çözüm
olabilir. Bu iki de˘ ger arasındaki tüm toplamları Basamak sayısına göre kaçar rakam kullanıldı˘ gını
alabilece˘ ginden, istenen ¸sekilde hesaplayalım.

485 − 60 + 1 = 426 1,2,...,9 bir basamaklı sayılarında 9 rakam kullanılır.
farklı de˘ ger vardır. 10,11,....,99 iki basamaklı sayılarının sayısı
99 − 10 + 1 = 90
oldu˘ gundan
90·2 = 180
rakam kullanılır.
100,101,102,...,999 üç basamaklı sayılarının sayısı
999 − 100 + 1 = 900
oldu˘ gundan,
900·3 = 2700
Alıştırma 1.12. ♣♣ rakam kullanılmı¸stır.
Üç tane üç basamaklı birbirinden farklı do˘ gal sayının 1000,...,1111 dört basamaklı sayılarının sayısı da
toplamının alabilece˘ gi kaç farklı de˘ ger vardır? 1111 − 1000 + 1 = 112

oldu˘ gundan 112·4 = 448 rakam kullanılır. Böylece,
toplam

Çözüm : Yanıt : (999 + 998 + 997) − 9 + 180 + 2700 + 448 = 3337
(100 + 101 + 102) + 1 = 2692
rakam kullanılır.

Ö R N E K 1.25. ♣♣
˙ Iki basamaklı 4 farklı pozitif tam sayının toplamı
101 oldu˘ guna göre, bu 4 sayıdan en büyük olanı
kaç farklı de˘ ger alabilir?

Çözüm
Önce, en büyük sayının alabilece˘ gi en büyük de˘ geri
bulalım. Küçük sayılar 10,11,12 alınırsa, en büyük
olan son sayı Alıştırma 1.13. ♣♣
1’den 2013’e kadar olan tüm tam sayıları bir sırada
101 − (10 + 11 + 12) = 68
olacaktır. ¸Simdi de, en büyük sayının alabilece˘ gi en 12345678910111213...2012
küçük de˘ geri bulalım. Küçük olan sayılar 23 25 26 ¸ seklinde yazarak yeni bir sayı elde ediliyor. Bu sayıda
alınırsa, en büyük olan son sayı, kaç tane rakam kullanılmı¸stır?
101 − (23 + 25 + 26) = 27
olacaktır. Buna göre, en büyük sayı küçük sayılarda
de˘ gi¸siklik yapılarak, 27 ve 68 dahil olmak üzere, 27 ve
68 arasındaki tüm de˘ gerleri alabilir. Bunların sayısı da Çözüm : Yanıt : (2012 − 1000 + 1) 4 + 2700 +
180 + 9 = 6941
68 − 27 + 1 = 42’dir.
14