Page 28 - 8_sf_dahimatik

Dahimatik 8. Sınıf - Mustafa Özdemir

Ö R N E K 2.23. ♣♣ Alıştırma 2.19. UAMO - 2005 ♣♣
Altı çocuktan olu¸san bir grupta, herkes, kendi x 1 <x 2 <x 3 <x 4 <x 5 pozitif tam sayılarının
dı¸sındaki be¸ski¸sinin ya¸slarını topladı˘ gında, elde iki¸ser-iki¸ser toplanmasıyla elde edilen sayı kümesinin
edilen farklı toplamlar {46, 45, 44, 43, 42}’dir. {18, 26, 29, 34, 36 , 37, 44, 45, 52, 55} oldu˘ gu
Bu grupta aynı ya¸staolaniki çocukkaç ya¸sındadır? bilindi˘ gine göre, x 2 sayısı kaçtır?

Çözüm
Bu altı çocu˘ gun ya¸sları  1  2    6 olsun.
Çözüm : Yanıt : 13.
 2 +  3 +  4 +  5 +  6 =  1
 1 +  3 +  4 +  5 +  6 =  2
 1 +  2 +  4 +  5 +  6 =  3
Alıştırma
 1 +  2 +  3 +  5 +  6 =  4 2.20. UAMO - 2007 ♣♣♣
 1 +  2 +  3 +  4 +  6 =  5
a 1 ,a 2 ,...,a 50 farklı pozitif sayılar olsun. i 6= j
olmak üzere, en az kaç tane farklı a  + a  toplamı
 1 +  2 +  3 +  4 +  5 =  6
diyelim. Ya¸sları e¸sit olan iki çocuk da  1 ve  2 olsun. elde edilebilir?
Bu durumda,  1 ve  2 toplamları aynıdır. Yukarıdaki
altı e¸sitli˘ gi taraf tarafa toplarsak,
5( 1 +  2 + ·· · +  6 )=( 1 +  2 + ··· +  6 )
=  2 +( 2 +  3 + ··· +  6 ) Çözüm : Yanıt : 97.( 1  2  ·· ·  49  50
için,
olur.  2  3  4  4  6 sayıları {46 45 44 43 42}
oldu˘ gundan,  1 +  2  1 +  3  ·· ·  1 +  50 
 2 +  50  ·· ·  49 +  50
 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 46+45+44+43+42 = 220
sıralaması yapılabilir.)
bulunur. Böylece,
5( 1 +  2 + ··· +  6 )=  2 + 220
elde edilir. Bu e¸sitli˘ gin sa˘ glanabilmesi için,  2 sayısı Alıştırma 2.21. ♣♣
5’e bölünmelidir. O halde,  2 =45 olmalıdır. Bu Be¸s çocuktan olu¸san bir grupta, herkes, kendi dı¸sındaki
durumda  1 =  2 =45’tir. Yani, iki aynı toplam 45 dört ki¸sinin ya¸slarını topladı˘ gında, elde edilen farklı
olur. Böylece, toplamlar {52, 51, 49, 47}’dir. Bu grupta aynı ya¸sta

5( 1 +  2 + ·· · +  6 ) = 45 + 220 = 265 olan iki çocuk kaç ya¸sındadır?
e¸sitli˘ ginden,
265
 1 +  2 + ··· +  6 = =53
5
bulunur.  1 +  3 + ··· +  6 =  2 =45 oldu˘ gundan, Çözüm : Yanıt : 13.
 2 =  1 =53 − 45 = 8
elde edilir. Alıştırma 2.22. U ˙ IMO - 1999 ♣♣
On ki¸siden olu¸san bir grupta, herkes, kendi dı¸sındaki
dokuz ki¸sinin ya¸slarını toplar. Bu toplamların
olu¸sturdu˘ gu küme {89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96,
97} oldu˘ guna göre, bu grupta aynı ya¸sta olan iki ki¸si
kaç ya¸sındadır?

Alıştırma 2.18. ♣♣
Yukarıdaki örne˘ ge göre, tüm çocukların ya¸slarını Çözüm : Yanıt : 13.
bulunuz.

Çözüm : Yanıt : Çocukların ya¸sları 7,8,8,9,10,11.

27