Page 31 - 8_sf_dahimatik

Dahimatik 8. Sınıf - Mustafa Özdemir

Alıştırma 2.26. ♣ Ö R N E K 2.32. ♣♣
Kaç farklı p asal sayısı için, p +2p − 1 bir asal 2n +5, 6n +1, 5n − 1 ve 3n − 16 sayılarının
2
sayıdır? dördü de asal sayı olacak ¸sekilde kaç n pozitif tam
sayısı vardır?

Çözüm
Çözüm : Yanıt : Sadece 2 için asaldır. Di˘ gerleri için çifttir Bu dört sayı toplanırsa,
ve 2’ye bölünür.
2 +5+6 +1 +5 − 1+3 − 16 = 16 − 11
elde edilir. Bu sayı daima bir tek sayıdır. Dört asal
sayının toplamı tek ise, sayılardan biri 2 olmalıdır.
2 +5 6 +2 5 − 1 sayılarının 2 olması mümkün
de˘ gildir. O halde, 3 − 16 = 2 olmalıdır. Buradan,
 =6 bulunur. Kontrol edilirse, sırasıyla 17 37 29 ve
2 asal sayıları elde edilir.

¨ ¥
F Asal Sayıların Birbiriyle Toplamı F
§ ¦
Tek sayıdaki asal sayının toplamı çift ise, asal sayılar- Alıştırma 2.27. ♣
dan biri mutlaka 2 olmalıdır.
3n − 4, 4n − 5 ve 5n − 3 sayılarının üçü de asal
(3 +5+2 = 10 gibi.) sayı olacak ¸sekilde kaç n pozitif tam sayısı vardır?
Çift sayıdaki asal sayının toplamı tek ise, asal sayılar-
dan biri mutlaka 2 olmalıdır.
(3 +5+7+2 = 17 gibi.)
Çözüm : Yanıt : 1, ( =2 için) 

Alıştırma 2.28. U ˙ IMO - 2009 ♣♣

n pozitif tam sayısının kaç de˘ geri için, 5n − 28,
7n − 19 ve 10n − 1 sayılarının üçü de asaldır?

Çözüm : Yanıt : 1,( =6 için).

Ö R N E K 2.31. ♣♣
3n − 10, 6n − 13 ve 5n − 13 sayılarının üçü de
asal sayı olacak ¸sekilde kaç n pozitif tam sayısı
vardır?
Ö R N E K 2.33. UAMO- 1996 ♣♣
Çözüm
x + y + z =68,
Verilen üç sayının toplamı,
x·y + y·z + z·x =1121
(3 − 10) + (5 − 13) + (6 − 13) = 14 − 36
denklemlerinde, x, y, z asaldır. x< y < z
oldu˘ gundan çifttir. Üç asal sayının toplamının çift oldu˘ guna göre y·z çarpımı kaçtır?
olabilmesi için birinin mutlaka 2 olması gerekir. Buna
göre, Çözüm
3 − 10 = 2 ise,  =4 olaca˘ gından, 5 − 13 = 7   ve  üç tane asal sayısının toplamının çift
ve 6 − 13 = 11 oldu˘ gundan üçü de asal olur. olabilmesi bu asal sayılardan birinin çift olmasıyla
5 − 13 = 2 ise,  =3 olur, fakat, 3 − 10 asal
olmaz. mümkündür. O halde =2’dir. Buna göre
6 − 13 = 2 olması ise mümkün de˘ gildir.  +  =66 ve 2 +2 +  = 1121
O halde, sadece  =4 de˘ geri için üç sayıda asal olur. 2( + )+  = 1121 e¸sitli˘ ginden,
sayıdır. 2·66 +  = 1121 ve buradan da  = 989 olur.
30