Page 34 - 8_sf_dahimatik

Dahimatik 8. Sınıf - Mustafa Özdemir

Ö R N E K 2.40. ♣♣ Ö R N E K 2.42. ♣♣
2
n + n +109 sayısı tam kare olacak ¸sekilde kaç n n ve m negatif olmayan tam sayılar olmak üzere,
pozitif tam sayısı vardır? n· (2m + n +1) = 72
ise, n kaç farklı sayı olabilir?
Çözüm
 +  + 109 ifadesi tam kare ise, bir  tam sayısı için, Çözüm
2
2
2
2
 +  + 109 = ( + ) =  +2 +  2  ve (2 +  +1) sayılarının çarpımı 72 olmalı.
2
olmalıdır. Buradan, 2 −  = 109 −  e¸sitli˘ ginden, Fakat, ikinci çarpanın daha büyük olması gerekti˘ gi
109 −  2 açık. Yani,  2 +  +1 ’dir. Di˘ ger yandan,
 =  tek sayıysa, 2 +  +1 çift,  çift sayıysa,
2 − 1
elde edilir.  pozitif olması gerekti˘ ginden,  en fazla 2 +  +1 tek olacaktır.
10 olabilir. O halde,  için 1’den 10’a kadar de˘ gerler Buna göre, 72 = 2·2·2·3·3 oldu˘ gundan,
verilirse,  =1 ise
 =1 =2,  =3 ve  =8 2 +  +1 = 72
için  tam sayı bulunur. Sırasıyla,  ∈ {108 35 20 3} olabilir. (Biri tek, biri çift ve  2 +  +1)
oldu˘ gu görülebilir.  =2 ve  =4 olamaz. Çünkü bu durumda 2++1
sayısı da çift olur.
 =8 ise,
2 +  +1 = 9

olabilir. (Biri tek, biri çift ve  2 +  +1)
 =3 ise
2 +  +1 = 24
Alıştırma 2.35. ♣♣
olabilir. (Biri tek, biri çift ve  2 +  +1)
2
n + n +59 sayısı tam kare olacak ¸sekildeki tüm n  =9 ise
pozitif tam sayılarını bulunuz.
2 +  +1 = 8
durumu da mümkün de˘ gildir. Çünkü, 2 +  +1 
olmalıydı.
Çözüm : Yanıt : 58 ve 10. Sonuç olarak,  =1 =8 ve  =3 olabilir. Bu
durumlar için  de˘ gerlerini de bulabiliriz.
· (2 +  +1) = 72
e¸sitli˘ ginde,
 =1 ise, 2 +2 = 72 e¸sitli˘ ginden,  =35 olur.
 =3 ise, 2 +4 = 24 e¸sitli˘ ginden,  =10 olur.
 =8 ise, 2 +9 = 9 e¸sitli˘ ginden,  =0 olur.

Ö R N E K 2.41. ♣♣
x· (2y +1) = 24 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (x, y)
do˘ gal sayı ikilisi vardır?

Çözüm
Verilen e¸sitlikte 2 +1 sayısının daima tek sayı
3
oldu˘ gunu kullanaca˘ gız. 24 = 2 ·3 oldu˘ gundan, 2 +1 Alıştırma 2.36. ♣♣
sayısı 1 veya 3 olabilir. Bu durumda da  =24 veya
 =8 olacaktır. O halde, n (2m +1) = 12 e¸sitli˘ gini sa˘ glayan kaç (m, n)
tam sayı ikilisi vardır?
2 +1 = 1
ise,  =0 olaca˘ gından, (24 0) verilen e¸sitli˘ gi sa˘ glar.
2 +1 = 3
Çözüm : Yanıt : 4.
ise,  =1 olaca˘ gından, (8 1) verilen e¸sitli˘ gi sa˘ glar.
33